6月に出産予定があり育児休暇を取る予定です。

6月に出産予定があり育児休暇を取る予定です。
前職からの雇用保険の引き継ぎが出来ておらず期間が足りないということでしたので、前職に離職票の発行をお願いしていました。
5月末には自宅に
郵送してもらえるということでしたがまだ届いておりません。
一ヶ月以上も前にお願いしていたのに遅すぎな気もします…
そして出産が早まってしまい、離職票が届かぬまま出産してしまいました。
長くなりましたが、
今から雇用保険の引き継ぎをして、育児休業給付金の申請には間に合いますでしょうか？
因みに出産日は5月30日です。
明日ハローワークに問い合わせる予定ですが詳しい方どうか教えて頂きたいです！

育児休業の開始は産後56日より後ですよね。
その時点で何も手続きしていないということはないでしょう。

育児休業給付金の申請期限は支給単位期間（最初は休業開始時から）4ヶ月以内ですから、またまだ時間はあります。
再度以前の職場に離職票を催促してみて下さい。それについてもハローワークで相談してみて下さい。

現在転職して3ヶ月たったのですが、ハローワークの求人内容と違い過ぎて我慢しながら仕事をしております。内容はまず営業で入ったのに名刺がなく営業活動もありません。
雑務ばかりで外に出ることはほとんどありせん。会社の従業員も記載内容と違い実際3人しかおりません。自分をあわして、家族経営なので僕ひとりが他人で会話もありません。一日話す事もありません。それは僕の歩みよりがないと逆に怒られる始末です。仕事の事を聞いても凄く嫌そうな顔をされます。こんな状況なので転職活動をしてるのですが3ヶ月で転職活動は不利ですか？履歴が残らないように社会保険は拒否しています。

不利といえば確かに不利ですね。
「履歴が残らないように社会保険は拒否」しておられるそうですが今の会社を辞めた上で求職活動されるのであればこれも有効ですが現職を継続しながらの転職活動であれば必ず現職の話は出さざるを得ません。そうした場合３カ月という期間よりも後はあなたが社会人になってどのような経歴があり経験、スキルを持っているかになります。
現職においてアピール出来るものがあればいいのですがこれと言ってなく唯不満なので転職したいという動機だけであればなかなか難しいと思いますね。

弟の就職について。アドバイスや他の考えられる選択肢があれば助言をお願いしたくここに投稿させて頂きます。私の弟は高校三年生ですが、まだ現在就職が決まっていません。クラスで未内定者一人
となっています。今まで３つの中小企業を受けて来ましたが全て滑ってきました。高校生向けの就職フェアなどにも参加はしてきました。私の弟は極度にコミュニケーションを取ることが苦手で、今までの人生の中で親友も仲のいい友達も一人もいません。クラスメイトと最小限話すのみです。弟は生まれつき、少し知恵遅れで、昔は言葉の教室や市役所に相談に行ったこともあります。しかし、障害者手帳交付されるほどではありません。これがまたとても中途半端なのです。私の弟は、私学高校テストではある程度の成績は取っています。(事前にここが出ると言われてそのままテストに出るので暗記は出来るのですが、公立高校の用に応用や少し言い方を変えたり数字が変わるとほぼ解けないと思います。)そんな弟は新卒生向けのハローワークとまだ学校でも少し求人を探しています。うちの弟は、文書能力もない為、志望動機も言葉がおかしい事が多く、内容もとても薄く、私が変わりに考えている時もありました。いいように言えば真面目、しかし言われた事しか出来ないと言った方が正しいと思います。就職する気があるかどうかという前に、全て一人では行動することができません。インターネットでどこがいいか探すのも弟一人では不可能です。母は通勤経路を事前に行って調べたり、お菓子の企業を受けるとなるとそこの製品を買って、製品の感想を聞かれても答えられるようにと何事にも本当に何事にも最大限のサポートをしているのを見てきました。まだ就職の決まらない弟に対して母はストレスを抱えて発狂することも最近多々あります。学校の先生にも、ハローワークの方にもお母さんは手を出さないでと言われているため、出来るだけ本人にさせようとしていますが、やっぱり本人に任せた所で何も動きませんし変わりません。弟が落ちてきた理由は、面接だと思います。応用がきかないので、練習した事以外ほぼ答えられません。同じ家族として、もちろん弟も、そして発狂する母も心配です。何かいい道はないでしょうか。完全な障害者なら多くの支援や作業所という道もあるのになぁと羨ましく思ってしまう程気が滅入っています。

建設業に入ったらどうでしょう？人手不足です。とにかく、若くて働く気があれば。
解体、荷揚げ、内装、型枠大工、沢山ありますよ。